Зеленая карта

Паспорт страхователя и свидетельство о регистрации транспортного средства (СТС/ПТС).

Нет, согласно Правилам страхования договор нельзя оформить ранее, чем за 30 дней до начала его действия.

Если страхователь отказывается от договора до начала срока действия полиса, то он вправе получить возврат страховой премии за вычетом  расходов страховой компании в размере 30%.
В случае обращения страхователя с заявлением о расторжении договора в течение действия срока страхования, денежные средства не возвращаются, за исключением случаев, когда произошла гибель транспортного средства

Да, нужен.
Для въезда в страны, где действует Зеленая карта, полис нужен  на все транспортные средства, в том числе на те, которые не подлежат страхованию ОСАГО в России – прицепы к грузовым и легковым автомобилям и тракторам; гусеничную и иную технику, не имеющую колесных движителей (например, снегоходы); мопеды с объемом двигателя менее 50 куб. см и пр.